TABLE DES MATIÈRES.
PRÉFACE
v
LIVRE PREMIER.
 
DES CONGRUENCES.
 
§ I. - Première étude des congruences.
 
1-2. Définition des congruences. - Résolution des congruences du premier degré
3
3-9. Congruences de degrés supérieurs. - Nombre de leurs racines
4
§ II. - Des congruences binômes. - Des résidus de puissances.
 
10. Théorèmes de Fermat et de Gauss
7
11-12. Racines primitives. - Leur nombre
8
13-14. Cas où le module est une puissance d'un nombre premier
11
15-16. Solution des congruences binômes. - Résidus quadratiques
13
§ III. - Théorie de Galois.
 
17-22. Congruences irréductibles de degré v; leur existence; leurs propriétés
14
LIVRE II.
 
DES SUBSTITUTIONS.
 
CHAPITRE PREMIER. - DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL.
 
§ I. - Premiers principes de la théorie.
 
23-38. Définitions et propositions élémentaires.
21
39. Théorème de Lagrange
25
40-42. Théorème de Cauchy
26
§ II. - De la transitivité.
 
43-44. Groupes transitifs. - Théorème sur l'ordre de ces groupes
29
45. Méthode pour la recherche des groupes plusieurs fois transitifs
30
46-47. Applications. - Groupe de M. Mathieu
33
§ III. - Groupes non primitifs. - Facteurs de non primitivité.
 
48. Définition des groupes primitifs ou non primitifs
34
49-52. Facteurs de non primitivité. - Leur constance
34
53. Un groupe permutable à un groupe non primitif n'est pas transitif.
41
§ IV. - Groupes composés. - Facteurs de composition.
 
54. Définition des groupes simples ou composés
41
55-58. Constance des facteurs de composition
42
59. Théorème sur les groupes intercalaires
48
§ V. - Symétrie des fonctions rationnelles.
 
60-61. Correspondance des groupes et des fonctions. - Théorème de Lagrange
50
62-65. Problème de M. Kirkman
52
66. Symétrie des assemblages de droites
55
67-74. Isomorphisme. - Construction des groupes isomorphes à un groupe donné
56
75. Théorème sur les groupes transitifs dont l'ordre égale le degré
60
§ VI. - Du groupe alterné.
 
76-81. Formation du groupe alterné. - Ses facteurs de composition
61
82-87. Théorèmes divers
64
§ VII. - Théorèmes de MM. Bertrand et Serret.
 
88-94. Énoncé et généralisation de ces théorèmes. - Leur démonstration pour de grands nombres
67
95-98. Fixation de la limite au delà de laquelle ils sont vrais.
72
§ VIII. - Limite de transitivité des groupes non alternés.
 
99-113. Fixation de cette limite
76
CHAPITRE II. - DES SUBSTITUTIONS LINÉAIRES.
 
§ I. - Représentation analytique des substitutions.
 
114-117. Recherches de M. Hermite
88
§ II. - Généralités sur les substitutions linéaires.
 
118-119. Génération du groupe linéaire
91
120-124. Son ordre
92
125-126. Transformation des indices. - Caractéristique; sa constance
97
§ III. - Facteurs de composition du groupe linéaire.
 
127-140. Détermination de ces facteurs
99
§ IV. - Groupes primaires.
 
141-146. Leur caractère distinctif
110
§ V. - Forme canonique des substitutions linéaires.
 
147-157. Réduction d'une substitution linéaire à sa forme canonique
114
§ VI. - Questions diverses.
 
158-161. Ordre des substitutions linéaires
126
162-171. Forme et nombre des substitutions linéaires échangeables à une substitution donnée.
128
172. Nombre des substitutions réductibles à une forme canonique donnée
136
173. Faisceaux de substitutions linéaires échangeables entre elles; leur décomposition en deux faisceaux partiels F et E
137
174-178. Forme du faisceau F
138
179-185. Forme du faisceau E
144
186. Théorème limitant l'ordre de F
149
187-195. Substitutions permutables aux faisceaux précédents. - Conditions pour qu'elles forment un groupe primaire.
150
§ VII. - Groupe orthogonal.
 
196. Généralités
155
197-200. Solution des congruences du second degré à plusieurs inconnues
156
201-214. Ordre du groupe orthogonal
161
215-216 Groupe orthogonal généralisé
170
§ VIII. - Groupe abélien.
 
217-219. Sa définition, et ses propriétés principales
171
220-223. Son ordre
174
224-229. Ses facteurs de composition
176
230-239. Nouvelle definition. - Exposants d'échange
179
240-244. Faisceaux de substitutions abéliennes et échangeables entre elles. - Leur partage en trois catégories
186
245-253. Simplification des exposants d'échange par un changement d'indices
189
§ IX. - Groupes hypoabéliens.
 
254-261. Leur définition. - Leur réduction à deux groupes distincts
195
262-267. Premier groupe hypoabélien. - Son ordre
199
268-276. Ses facteurs de composition
202
277-282. Second groupe hypoabélien. - Son ordre
206
283-291. Ses facteurs de composition
208
292-300. Faisceaux de substitutions hypoabéliennes et échangeables entre elles
213
§ X. - Méthodes générales pour former des groupes partiels contenus dans le groupe linéaire.
 
301-304. Première méthode
219
305-306. Seconde méthode.
220
307-314. Troisième méthode. - Ordre et facteurs de composition des groupes obtenus. - Condition de primarité
222
§ XI. Groupes isomorphes au groupe linéaire.
 
315-317. Substitutions linéaires fractionnaires
227
318. Groupes de Steiner. - Leur définition
229
319-325. Propriétés des substitutions du groupe G
229
326-331. Son ordre
236
332-335. Il est isomorphe sans mériédrie au groupe abélien
240
336-345. Propriétés des substitutions du groupe G1. - Son ordre
242
346. Il est isomorphe au premier groupe hypoabélien
248
347. De deux nouveaux groupes analogues aux précédents
249
LIVRE III.
 
DES IRRATIONNELLES.
 
CHAPITRE PREMIER. - GÉNÉRALITÉS.
 
§ I. - Théorie générale des irrationnelles.
 
348-352. Définitions et lemmes préliminaires
253
353-356. Théorème fondamental
257
357-360. Toute équation irréductible a son groupe transitif, et réciproquement. - Caractère des équations dont le groupe est non primitif
259
361-372. Adjonction d'une ou de plusieurs fonctions des racines, son influence sur le groupe de l'équation. - Réduction de la résolution d'une équation composée à celle d'une suite d'équations simples
261
373-380. Adjonction de fonctions des racines d'une autre équation
267
381-383. Équations équivalentes à la proposée. - Leur classification
270
384. Relation la plus générale entre les racines de deux équations irréductibles
272
385-386. Impossibilité d'abaisser une équation irréductible de degré premier, ou l'équation générale d'un degré 4
275
387. Abaissement de l'équation du quatrième degré
275
388. Détermination du groupe d'une équation
276
§ II. - Groupes de monodromie.
 
389-391. Sa définition. - Ses propriétés.
277
§ III. - Théorèmes divers.
 
392-399. Théorèmes relatifs aux facteurs de composition des équations
279
CHAPITRE II. - APPLICATIONS ALGÉBRIQUES.
 
§ I. - Des équations abéliennes.
 
400-401. Des équations dont deux racines s'expriment rationnellement l'une par l'autre
286
402-408. Équations abéliennes générales. - Leur résolution par des équations abéliennes de degré premier
287
409-411. Équations binômes. - Racines primitives
291
412-414. Leurs facteurs irréductibles
293
415. Leur groupe
295
§ II. - Équations de Galois.
 
416-417. Leur groupe. - Leur résolution par des équations abéliennes
297
418. De l'équation xp - A
298
CHAPITRE III. - APPLICATIONS GÉOMÉTRIQUES.
 
419. Observations générales
301
§ I. - Équation de M. Hesse.
 
420-425. Groupe de cette équation. - Sa résolution
302
426. Équation de M. Mathieu
305
§ II. - Équations de M. Clebsch.
 
427-430. Groupes de ces équations. - Leurs facteurs de composition
305
§ III. - Droites situées sur les surfaces du quatrième degré à conique double.
 
434. Propriété caractéristique de l'équation
309
432-434. Son groupe. - Son abaissement au cinquième degré
310
435. Généralisation
312
§ IV. - Points singuliers de la surface de M. Kummer.
 
436-440. Groupe de l'équation. - Son abaissement au sixième degré
313
§ V. - Droites situées sur les surfaces du troisième degré.
 
441-444. Groupe, ordre et facteurs de composition de l'équation
316
445-453. Impossibilité de l'abaisser
319
§ VI. - Problèmes de contacts.
 
454-456. Cas des courbes générales
329
457-461. Cas des courbes à points singuliers
331
CHAPITRE IV. - APPLICATIONS A LA THÉORIE DES TRANSCENDANTES.
 
§ I. - Fonctions circulaires.
 
462-466. Division de l'arc de cercle
334
467. Division de la circonférence
336
§ II. - Fonctions elliptiques.
 
468-475. Division d'un arc quelconque
337
476-477. Division des périodes
342
478-480. Équations modulaires. - Leur groupe
344
481-483. Impossibilité de les abaisser
347
484-485. Exceptions pour n = 5, 7 ou 11. - Forme de la réduite
351
§ III. - Fonctions hyperelliptiques.
 
486-488. Réduction du problème de la division au cas d'un diviseur premier
354
489-497. Groupe et propriétés de l'équation de la division
357
498. Théorème relatif à la bissection des périodes
364
499-504. Équation de la trisection des périodes. - Son abaissement
365
§ IV. - Résolution des équations par les transcendantes.
 
505. Troisième degré
370
506. Quatrième degré
370
507-508. Cinquième degré. - Méthode de M. Hermite
372
509-512. Méthode de M. Kronecker
374
513-514. Impossibilité de résoudre les équations générales d'un degré supérieur à 5 à l'aide des équations de la division des fonctions circulaires et elliptiques, ou de la division des fonctions hyperelliptiques par un nombre impair
378
515. Leur résolution par les équations de la bissection des fonctions hyperelliptiques
380
516. Sur une réduite de l'équation du huitième degré
380
LIVRE IV.
 
DE LA RÉSOLUTION PAR RADICAUX.
 
CHAPITRE PREMIER. - CONDITIONS DE RÉSOLUBILITÉ.
 
517-518. Résolution des équations abéliennes de degré premier
385
519-521. Critérium de résolubilité
386
522. Impossibilité de résoudre l'équation générale d'un degré > 4
388
523. Résolution de l'équation du troisième degré.
388
524-527. Nouvel énoncé du critérium. - Théorèmes divers
389
528-532. Énoncé définitif du critérium. - Problèmes A, B, C
392
CHAPITRE II. - RÉDUCTION DU PROBLÈME A.
 
§ I. - Groupes primitifs.
 
533. Réduction du problème au problème B
398
§ II. - Groupes non primitifs.
 
534-543. Réduction du problème au cas précédent
399
CHAPITRE III. - RÉDUCTION DU PROBLÈME B.
 
§ I. - Groupes décomposables.
 
544-554. Réduction du problème au cas des groupes indécomposables
410
§ II. - Groupes indécomposables.
 
555. Forme de leur premier faisceau
420
556. Cas où chaque série ne contient qu'un indice
421
557-558. Cas général. - Existence de substitutions qui ne déplacent pas les séries.
421
559-566. Second faisceau. - Double suite. - Forme type de ses substitutions
422
567-576. Forme type réelle des mêmes substitutions
428
577-591. Réduction du problème au problème C
438
CHAPITRE IV. - RÉDUCTION DU PROBLÈME C.
 
§ I. - Groupes décomposables.
 
 
Pages.
592-599. Groupes décomposables de première espèce
451
600-613. Groupes décomposables de seconde espèce
455
§ II. - Groupes indécomposables de première catégorie.
 
614-619. Leur premier faisceau. - Forme de leurs substitutions
462
620. Cas particulier où chaque série ne contient qu'un indice
465
621-630. Cas général. - Existence de substitutions qui ne déplacent pas les séries
465
631. Second faisceau
472
632-637. Abaissement du degré du problème
473
638. Remarque sur la solution
478
§ III. - Groupes indécomposables de seconde catégorie.
 
639-640. Leur premier faisceau. - Forme de leurs substitutions.
479
641. Cas particulier où chaque série ne contient qu'un indice
481
642. Cas général. - Existence de substitutions qui ne déplacent pas les séries.
481
643. Second faisceau
482
644-647. Forme des exposants d'échange
484
648-657. Abaissement du degré du problème
488
658. Remarque sur la solution
496
§ IV. - Groupes indécomposables de troisième catégorie.
 
659-660. Leur premier faisceau. - Forme de leurs substitutions
497
661. Existence de substitutions qui ne déplacent pas les séries
498
662. Second faisceau
499
663. Forme des exposants d'échange
500
664-669. Abaissement du degré du problème
501
670. Remarques sur la solution
505
671-685. Exposant des groupes obtenus
506
CHAPITRE V. - RÉSUMÉ.
 
686-687. Réduction du problème A
523
688-693. Réduction du problème B
524
694-699. Réduction du problème C
528
700. Observations
536
CHAPITRE VI. - GROUPES A EXCLURE.
 
701-714. Indication de ces exclusions. - Leur nécessité
539
715. Énoncé des théorèmes A, B, C
552
CHAPITRE VII. - INDÉPENDANCE DES GROUPES RESTANTS.
 
§ I. - Réduction du théorème A au théorème B.
 
 
Pages.
716-717. Cas où n'est pas primitif
554
718. Cas où est primitif, et L non primitif
555
719-729. Cas où et L sont primitifs
557
§ II. - Démonstration du théorème B.
 
730-733. Les groupes formés d'après la méthode des nos 689-693 sont primaires et indécomposables
564
734-740. Solution d'un problème auxiliaire
569
741. Démonstration du théorème B si est décomposable
574
742-750. Cas où est indécomposable. - Son premier faisceau est contenu dans celui de L.
575
751-759. Démonstration du théorème B ( indécomposable)
580
§ III. - Démonstration du théorème C.
 
760-767. Si le groupe L est construit par la méthode des nos 697-699, le groupe J qui s'en déduit sera primaire et indécomposable
588
768-773. Solution d'un problème auxiliaire
597
774-777. Théorème C ( décomposable)
602
778-791. Cas où est indécomposable. - Son premier faisceau est contenu dans celui de L.
605
792-794. Théorème C ( indécomposable de première catégorie)
616
795-813. Théorème C ( indécomposable de seconde catégorie)
619
814-850. Théorème C ( indécomposable de troisième catégorie)
634
NOTES
663
FIN DE LA TABLE DES MATIÈRES.