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INTRODUCTION contenant une histoire abrégée du développement du vrai Systême de l'Univers.
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Chap. I. Principaux phénoménes du Systême du Monde.
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Chap. II. Comment la théorie de M. Newton explique les phénoménes des planetes principales.
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Chap. III. De la détermination de la figure de la terre selon les principes de M. Newton.
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Chap. IV. Comment M. Newton explique la précestion des équinoxes.
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Chap. V. Du flux & du reflux de la mer.
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Chap. VI. Comment M. Newton explique les phénoménes des planetes secondaires, & principalement ceux du mouvement de la Lune.
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Des cométes.
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SOLUTION ANALYTIQUE
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Des principaux problêmes qui concernent le Systême du Monde. |
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SECTION PREMIERE.
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Des trajectoires dans toute sorte d'hypothèse de pesanteur. |
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I. Prop. I. Théorème I. Les corps attirés vers un point parcourent des aires égales un temps égaux.
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Cette Prop. démontre la Prop. I du premier Livre des Principes, & c'est ce qu'on appelle la première règle de Kepler.
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II. Prop. II, Théorème II. Les vîtesses aux différens points de la même courbe sont en raison inverse des perp.
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III. Prop. III. Théorème III. Les forces aux différens points des courbes sont comme les flèches lorsque les secteurs sont égaux, & comme les flèches divisées par les quarrés des secteurs lorsqu'ils sont inégaux, en supposant que les intensités soient les mêmes.
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IV. Scholie. Lorsque les intensités sont différentes, les forces sont comme les flèches divisées par les quarrés des temps.
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V. Prop. IV. Problême I. Trouver l'expression générale des flèches dans la même courbe.
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VI. Cor. I. Manière plus abrégée de trouver l'expression des flèches.
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VII. Cor. II. Autre expression plus abrégée des flèches dans la même courbe.
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VIII. Cor. III. Expression des flèches dans deux courbes différentes, ou lorsque les intensités ne sont pas les mêmes.
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IX. Prop. V. Problême II Trouver l'expression de la force centripète dans l'ellipse en prenant un foyer pour pole, elle est en raison inverse du quarré de la distance.
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Note. Trouver l'équation polaire de l'ellipse en prenant un foyer pour pole.
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X. Prop. VI. Théorème IV. Les vitesses aux moyennes distances sont dans les ellipses en raison renversée de ces moyennes distances, lorsque les intensités des forces sont les mêmes.
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XI. Prop. VII. Théorème V. Les temps périodiques dans deux courbes différentes sont comme les racines quarrées des cubes des moyennes distances lorsque les intensités des forces sont les mêmes.
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XII. Prop. VIII. Problême III. Lorsque les intensités des forces sont différentes, les vitesses sont comme les racines des masses divisées par les racines des distances.
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XIII. Prop. IX. Problême IV. Lorsque les intensités sont différentes, les temps périodiques sont comme les racines quarrées des cubes des moyennes distances divisées par les racines des masses.
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XIV. Cor. Les moyennes distances sont entr'elles comme les racines cubes des quarrés des temps périodiques multipliées par les racines cubes des masses.
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XV. Prop. X. Problême V. Trouver l'expression de la force centripète dans l'hiperbole en prenant un foyer pour pole, elle est en raison inverse du quarré de la distance.
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Note. Trouver l'équation polaire de l'hiperbole en prenant un foyer pour pole.
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XVI. Prop. XI. Problême VI. Trouver l'expression de la force centripète dans la parabole en prenant le foyer pour pole, elle est en raison inverse du quarré de la distance.
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Note de la Prop. XI. Trouver l'équation polaire de la parabole.
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XVII. Prop. XII. Problême VII. Trouver la trajectoire décrite par un corps qui seroit animé par une force qui agit comme une fonction quelconque de la distance au centre, en supposant la vitesse & la direction données.
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XVIII. Cor. I. Trouver l'expression du temps employé à parcourir un arc fini quelconque de cette trajectoire.
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XIX. Cor. II. Déterminer la quantité constante ajoutée dans l'intégration de la formule générale des trajectoires.
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XX. Prop. XIII. Problême VIII. Trouver directement les trajectoires qui peuvent être décrites, en supposant que la force agisse en raison inverse du quarré des distances.
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Note de cette Prop. Déterminer la vitesse qu'un corps acquiert en tombant d'une hauteur donnée, étant poussé par une force constante.
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XXI. Prop. XIV. Théorème VI. Manière de réduire l'équation de la Proposition précédente aux équations des sections coniques.
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XXII. Scholie. On voit par cette Prop. que lorsque la force tend au foyer & qu'elle agit en raison inverse du quarré des distances, la trajectoire ne peut être qu'une section conique.
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XXIII. Prop. XV. Problême IX. Trouver la courbe décrite lorsque la force agit en raison de la simple distance.
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Note de la Prop. XV. Trouver l'équation polaire de l'ellipse en prenant le centre pour pole.
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XXIV. Prop. XVI. Théoréme VII. Maniere de réduire l'équation de la Proposition précédente à celle de l'ellipse, ou maniere d'exprimer la force centripéte dans l'ellipse en prenant le centre de la courbe pour le centre des forces.
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Note de la Prop. XVI. Trouver l'équation polaire de l'hiperbole en prenant le centre pour pole.
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XXV. Scholie. Quand la force centripéte se change en centrifuge, la courbe devient une hiperbole lorsque la force tend au centre de la figure, & que la force est en raison de la simple distance.
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XXVI. Prop. XVII. Théoréme VIII. Dans toutes les ellipses les tems périodiques sont égaux lorsque la force tend au centre, & que les intensités des forces sont les mêmes.
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XXVII. Prop. XVIII. Problême X. Trouver la trajectoire que le corps doit décrire en supposant que la force centripéte décroît en raison du cube de la distance.
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XXVIII. Prop. XIX. Théoréme IX. Réduction de l'équation de la Proposition précédente à celle de la spirale logarithmique.
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XXIX. Prop. XX. Théoréme X. Réduction de l'équation de la Prop. XVIII. aux cas où la direction est perpendiculaire au rayon de la courbe.
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Ce cas se divise en deux, le premier se construit par le cercle, & le second par l'hiperbole.
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XXX. Cor. Cette Prop. démontre la quarante-uniéme du premier Livres des Principes.
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XXXI. Scholie. Si la force centripéte devient centrifuge, le corps s'éloignera toujours de plus en plus du centre, & décrira par conséquent une trajectoire qui ne rentrera pas en elle-même.
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XXXII. Prop. XXI. Problême XI. Trouver la trajectoire que le corps décrira en supposant que la force centripéte agisse en raison renversée du quarré de la distance au centre plus en raison inverse du cube des distances.
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XXXIII. Scholie. L'équation de cette Proposition se construit en supposant dans la courbe décrite un mouvement d'apsides, cette Proposition démontre la Prop. XLV. du premier Livre de M. Newton.
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XXXIV. Prop. XXII. Problême XII. On demande les trajectoires dans toutes sortes d'hipotheses de pesanteur, en ajoutant à la loi quelconque qu'on a choisie une force inversement proportionnelle au cube des distances.
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XXXV. Scholie. On y remarque que la Prop. précédente contient la démonstration de quelques Prop. de M. Newton sur le mouvement des aspides.
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XXXVI. Prop. XXIII. Prob. XIII. Trouver le temps & la vîtesse d'un corps qui tombe en ligne droite d'un point quelconque vers un centre qui l'attire par une force quelconque, l'équation de cette Proposition se construit par un demi cercle.
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XXXVII. Cor. I. de cette Prop. On fait voir dans ce Cor. ce qui arriveroit au corps dans le cas où la force agiroit en raison renversée du quarré des distances.
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XXXVIII. Cor. II. En quelle proportion sont les temps des chutes rectilignes, & quel temps les planetes employeroient à tomber vers leur centre.
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XXXIX. Cor. III. On cherche la même chose dans le cas où la force agiroit en raison directe de la distance.
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On tire de-là que cette remarque, de quelque point que le corps parte, il arrivera en temps égal au centre.
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XL. Scholie. On peut appliquer à cette Prop. tout ce qu'on a démontré sur les orbes elliptiques.
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SECTION II.
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De l'attraction des Corps en ayant égard à leurs figures. |
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PREMIERE PARTIE.
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De l'attraction des sphéres. |
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I. Prop. I. Problême I. Trouver l'attraction d'une surface sphérique sur un corpuscule placé sur le prolongement de son axe, en supposant que toutes ses parties attirent comme une puissance quelconque de la distance.
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II. Prop. II. Problême II. Trouver l'attraction d'une sphére solide sur un corpuscule placé sur le prolongement de son axe.
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III. Prop. III. Problême III. Trouver l'attraction d'une surface sphérique sur un corpuscule placé sur le prolongement de son axe dans l'hypothèse de l'attraction en raison inverse du quarré des distances.
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IV. Cor. I. Quelle est l'attraction d'un orbe & d'une sphére solide dans cette hypothèse.
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V. Cor. II. Dans cette hypothèse deux sphéres s'attirent de la même maniere que si leurs masses étoient réunies à leur centre.
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VI. Scholie. Dans cette hypothèse les sphéres entières attirent dans la même raison que leurs parties.
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VII. Prop. IV. Problême IV. Trouver l'attraction d'une surface sphérique sur un corpuscule placé sur le prolongement de son axe, en supposant l'attraction en raison de la simple distance.
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VIII. Cor. I. Quelle est l'attraction de l'orbe dans cette hypothèse, & celle d'une sphére solide.
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IX. Cor. II. Dans cette hypothèse la sphére totale attire dans la même raison que ses parties.
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X. Cor. III. Dans cette hypothèse de pesanteur les corps de figure quelconque attirent ainsi que les sphéres dans la même raison que leurs parties.
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XI. Prop. V. Problême V. Trouver l'attraction d'une surface sphérique sur un corpuscule placé sur le prolongement de son axe dans l'hypothèse de l'attraction en raison inverse de la quatriéme puissance.
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XII. Cor. L'attraction d'un orbe & celle d'une sphére solide dans le cas de cette hypothèse.
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XIII. Prop. VI. Problême VI. Trouver l'attraction d'une surface sphérique sur un corpuscule placé dans l'intérieur de cette surface, en supposant que l'attraction se fasse selon une puissance quelconque de la distance
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XIV. Scholie. De quel côté se fera cette attraction
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XV. Prop.VII; Problême VII. Trouver l'attraction d'une surface sphérique sur un corpuscule placé dans l'intérieur de cette surface dans l'hypothèse de l'attraction en raison inverse du quarré de la distance; dans cette hypothèse le corps placé dans l'intérieur de la surface sphérique n'en éprouveroit aucune attraction.
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XVI. Prop. VIII. Problême VIII. Trouver l'attraction d'une surface sphérique sur un corpuscule placé dans l'intérieur de cette surface, en supposant que l'attraction agisse en raison directe de la simple distance.
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XVII. Cor. Détermination de l'attraction d'un orbe quelconque, & de la sphère entiere dans le cas de l'hypothèse de la Prop. Précédente.
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XVIII. Prop. IX. Problême IX. Trouver l'attraction d'une surface sphérique sur un corpuscule placé dans l'intérieur de cette sphére, en supposant l'attraction en raison inverse de la quatriéme puissance.
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XIX. Cor. I. Quelle est l'attraction d'un orbe quelconque d'une épaisseur finie dans l'hypothèse précédente.
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XX. Cor. II. Quelle est l'attraction qu'éprouveroit un corps adhérent à la surface intérieure de la sphére creuse, & l'on y voit qu'elle seroit infinie dans cette hypothèse.
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XXI. Cor. III. Quelle est l'attraction qu'éprouveroit dans cette hypothèse un corpuscule placé dans l'intérieur d'une sphére solide.
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SECONDE PARTIE.
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De l'attraction des Corps de figure quelconque. |
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XXII. Prop. X. Problême X. Trouver l'attraction d'un cercle sur un corpuscule qui répond perpendiculairement à son centre, en supposant que toutes ses parties attirent comme une puissance quelconque de la distance.
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XXIII. Cor. Détermination de l'attraction d'un cercle sur un corpuscule qui répond perpendiculairement à son centre, en supposant l'attraction en raison inverse de la simple distance.
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XXIV. Prop. XI. Problême XI. Trouver l'attraction d'un solide produit par la révolution d'une courbe quelconque autour de son axe sur un corpuscule placé sur cet axe.
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XXV. Cor. Détermination de l'attraction d'un solide quelconque dans les mêmes circonstances, en supposant que l'attraction agisse en raison inverse de la simple distance.
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XXVI. Prop. XII. Problême XII. Trouver l'attraction qu'un cylindre exerce sur un corpuscule placé sur son axe de révolution.
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XXVII. Prop. XIII. Problême XIII. Trouver l'attraction d'un cylindre dans les mêmes circonstances, en supposant que l'attraction agisse en raison inverse de la simple distance.
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XXVIII. Prop. XIV. Problême XIV. Trouver dans les mêmes circonstances l'attraction d'un cylindre, en supposant que l'attraction soit en raison inverse du cube des distances.
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XXIX. Prop. XV. Problême XV. Trouver dans les mêmes circonstances l'attraction d'un cylindre dans l'hypothèse de l'attraction en raison doublée inverse des distances.
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XXX. Prop. XVI. Problême XVI. On demande l'attraction d'un cylindre sur un corpuscule dans les mêmes circonstances, & en supposant que l'attraction agisse dans une plus grande raison que la raison inverse du cube des distances, cet excès sur la raison inverse du cube des distances étant supposé quelconque.
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XXXI. Cor. I. On suppose dans le Corollaire que cet excès = I, & on trouve qu'alors l'attraction du cylindre est très-grande, en supposant que la distance du corps au cylindre soit très-petite, & qu'elle seroit infiniment grande si la distance du corpuscule au cylindre étoit infiniment petite. Si l'excès étoit plus grand que I, l'attraction à fortiori seroit encore infinie.
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XXXII. Cor. II. On démontre dans ce Cor. que si le Cylindre étoit infini dans le sens de son axe, son attraction différeroit très-peu de ce qu'elle seroit lorsque ce cylindre seroit fini, mais beaucoup plus grand que la distance A B.
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XXXIII. Cor. III. On démontre dans ce Cor. qu'il en seroit de même si le cylindre étoit encore infini dans sa largeur.
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XXXIV. XXXV. Scholie. I. II. On donne ici la formule de l'attraction pour les cas supposés dans le coroll. précédent; où le Cylindre auroit des dimentions infinies.
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XXXVI. Scholie. III. Quelle sera l'attraction du Cylindre infini sur un corpuscule placé au-dedans de son axe.
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TROISIÉME PARTIE.
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De l'attraction des sphéroïdes en particulier. |
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XXXVII. Prop. XVII. Problême. XVII. Trouver l'attraction d'un sphéroïde sur un corpuscule placé sur son axe de révolution, en supposant l'attraction en raison inverse du quarré des distances.
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Ce Problême contient deux cas, que l'on traite séparément dans cette Prop. Le premier (page 179.) lorsque le sphéroïde est allongé, & le second (page 181.) lorsqu'il est applati.
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SECTION III.
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De l'explication de la réfraction en employant le principe de |
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l'attraction. |
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Discours préparatoire dans lequel on donne une courte explication de la réfraction, où l'on expose la dispute de Fermat & de Descartes sur la cause de la réfraction, & dans laquelle on fait voir que l'attraction est cette cause.
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184 & suiv.
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Problême général dans lequel on trouve l'équation générale de la courbe qu'un corps décrit en passant d'un milieu dans un autre avec une vîtesse & une direction données.
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On tire de l'équation trouvée dans cette Prop. ce coroll. que le sinus d'incidence est au sinus de réfraction en raison donnée.
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Scholie. On applique dans ce Scholie le problême & son Cor. à la lumière, on y apprend à trouver l'équation & la courbe que le rayon décrit en traversant différens milieux, & l'on y fait à la lumière l'application de la formule trouvée dans le Scholie de la Prop. 16. de la troisième Section.
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SECTION IV.
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De la figure de la terre. |
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PREMIERE PARTIE.
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I. Quels principes Messieurs Hughens & Newton avoient employé pour s'assurer de l'équilibre d'une masse fluide.
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II. Principe substitué par M. Clairaut à ceux de Messieurs Hughens & Newton, dont il a trouvé que la réunion étoit insuffisante pour s'assurer de l'équilibre d'une masse fluide.
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III. Ce principe de M. Clairaut renferme celui de M. Newton & celui de M. Hughens, & a de plus la généralité qui manque à ceux de ces deux Philosophes.
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IV. C'est un Problême déterminé que de trouver la forme d'une masse fluide, afin que le principe de M. Clairaut soit observé, la loi de pesanteur étant donnée, comme dans ceux de Messieurs Newton, & Hughens.
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V. On peut faire abstraction de la force centrifuge en considérant l'équilibre de la masse fluide résultante du principe de M. Clairaut; ainsi la rotation des planetes n'empêche pas que ce principe ne leur soit applicable.
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VI. Pour simplifier la démonstration du principe de M. Clairaut, & pour en rendre l'application aux planetes plus facile, on peut ne considérer que l'équilibre d'un canal placé dans le plan d'un Méridien du sphéroïde qu'on considére.
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VII. Premiere hypothèse. L'équilibre d'une masse fluide suit du principe de M. Clairaut, en supposant que toutes ses parties tendent vers un seul centre.
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VIII. Hypothèse II. Cet équilibre en est encore une suite en supposant que les parties du fluide tendent vers plusieurs centres.
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IX. Hypothèse III. L'équilibre suit encore de ce principe lorsque la gravité est le résultat de l'attraction de toutes les parties d'un corps central de figure quelconque, mais alors le calcul est plus difficile que dans les hypothèses précédentes.
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X. Hypothèse IV. L'équilibre en suit encore lorsque la pesanteur est l'effet de l'attraction de toutes les parties du sphéroïde ou de l'anneau, alors le calcul est infiniment plus difficile.
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XI. Hypothèse V. Lorsque la gravité ne résulte que de l'attraction des parties du fluide même, sans considérer celle du noyau, l'équilibre suit encore du même principe.
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XII. Hypothèse VI. Enfin l'équilibre suit encore du principe de M. Clairaut, lorsque le noyau solide est composé de couches de densités différentes.
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XIII. On peut expliquer dans cette hypothèse, comment une planete allongée ou applatie d'une maniere quelconque pourroit être en équilibre.
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XIV. Mais ce raisonnement ne suffit pas pour conclure que la terre peut avoir une figure donnée, parce qu'il faudroit encore faire voir que cette hypothèse s'accorde avec les phénoménes que les expériences nous ont découverts.
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XV. Preuve de l'insuffisance de la réunion des deux principes de Messieurs Hughens & Newton, par exemple, dans une loi de pesanteur dans laquelle la gravité dépendroit de la distance au centre & de quelqu'autre condition, il y auroit un mouvement perpétuel dans la masse fluide, quoique le principe de M. Hughens & celui de M. Newton s'accordassent à donner la même figure au sphéroïde.
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XVI. En supposant que les couches qui composent une planete soient de densités hétérogênes, il suffit dans ce cas que tous les points de toutes les surfaces qui terminent les différens fluides soient perpendiculaires à la direction de la pesanteur, comme la surface qui termine le fluide extérieur de la planete; ainsi la loi de pesanteur étant donnée, il suffira pour déterminer la figure que doit prendre une masse composée de fluides hétérogênes, de calculer la figure qu'auroit cette même masse en la supposant homogêne.
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XVII. Si on suppose l'attraction de toutes les parties de la masse fluide, on ne peut plus déterminer la forme que doit prendre un sphéroïde composé de fluides hétérogênes, par la même méthode qui donneroit celle d'un sphéroïde composé de fluides homogênes.
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XVIII. Maniere de s'assurer que la loi de pesanteur qui résulte de l'attraction mutuelle de toutes les parties de la matiere dans un sphéroïde composé de couches hétérogênes, est une de celles dans lesquelles une masse fluide peut prendre une forme constante, quoiqu'on ne connoisse pas cette forme.
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XIX. Le raisonnement employé dans l'article XVIII. pour déterminer l'équilibre des planetes hétérogênes, fait voir la fausseté de la supposition qu'ont fait quelques Auteurs pour diminuer le rayon de l'équateur que donnent les loix de l'hydrostatique, sçavoir que les colomnes fluides sont d'autant plus denses, qu'elles sont plus près de l'équateur.
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XX. Preuve analytique de la généralité du principe employé par M. Clairaut pour décider la possibilité de l'équilibre des fluides dans toutes sortes d'hypothèses de pesanteur, cette preuve consiste à faire voir que les différentielles qui expriment la force totale qui sollicite le fluide à s'échapper, soient telles qu'elles ne dépendent d'aucune relation entre les coordonnées de la courbe.
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XXI. Digression sur ces différentielles que M. Clairaut appelle complettes.
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XXII. Application de cette méthode à l'hypothèse de gravité, dépendante de la raison inverse du quarré de la distance au centre, & de la raison directe du sinus de l'angle que le rayon fait avec l'axe, & cette méthode fait voir que dans cette hypothèse le fluide ne pourroit jamais avoir une forme constante.
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XXIII. Application de cette même méthode à l'hypothèse de gravité, dépendante de la tendante à deux centres, selon une puissance quelconque des distances à ces deux centres, cette méthode fait voir que dans cette hypothèse l'équilibre des fluides est possible.
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XXIV. Maniere de trouver la figure d'une planete, lorsqu'on a reconnu que l'équilibre des fluides est possible dans l'hypothèse de gravité qu'on a supposé.
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XXV. Usage de l'équation générale trouvée dans l'article 24 à la détermination de la figure de la terre.
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XXVI. Il suit de l'article 25. comparé avec les mesures actuelles, qu'on doit exclure toutes les hypothèses où la force tendroit vers un seul centre, lorsqu'on veut déterminer la figure de la terre.
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XXVII. Quel usage on va faire dans la seconde partie de cette Section du Problême de l'article 24.
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SECONDE PARTIE.
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Qui traite de la figure de la Terre. |
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XXVIII. Prop. I. Problême I. Trouver l'attraction qu'exerce un spheroïde elliptique, infiniment peu différent d'une sphere sur un corpuscule placé sur le prolongement de son axe de révolution.
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XXIX. Cor. Expression de l'attraction de ce sphéroïde sur le corpuscule supposé au pôle.
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XXX. Prop. II. Lemme I. L'attraction qu'un cercle, ou une ellipse, ou toute autre courbe exerce sur un corpuscule ne differe de celle qu'il exerce sur un autre placé à même hauteur & à une distance infiniment petite du premier, que d'une quantité infiniment petite du second ordre.
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XXXI. Prop. III. Lemme II. L'attraction exercée par un sphéroïde elliptique infiniment peu différent d'une sphere, dans la direction de son rayon, sera la même que celle qu'exerceroit sur le même corpuscule un autre sphéroïde qui auroit un autre axe de révolution, mais dont la quantité de matiere seroit la même.
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XXXII. Prop. IV. Lemme III. Le rayon d'une ellipse infiniment peu différente du cercle, aura pour valeur , ( est l'élipticité de la surface & s est le sinus de l'angle M C P.) Voyez les figures.
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XXXIII. Prop. V. Lemme IV. L'attraction qu'un cercle exerce dans le sens de son axe sur un corpuscule placé perpend au-dessus d'un point infiniment peu distant de son centre, étant décomposée dans le sens de son axe, a pour expression c x H I x R, divisé par 2 M R3 (H est le point infiniment peu distant du centre, Y est le centre, R H est la distance de la surface au point H, H Y est la distance du point H au centre Y, M R est la distance du corpuscule à l'extrémité de l'axe R H Y & c est la circonférence.)
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XXXIV. Cor. Si au lieu d'un cercle on avoit une ellipse ou une autre courbe qui s'éloignât infiniment peu du cercle, l'expression de son attraction, dans le même sens, sur un corpuscule placé de même sera la même sans erreur sensible.
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XXXV. Prop. VI. Lemme V. L'attraction qu'un sphéroïde infiniment peu différent du cercle, exerce sur un corpuscule placé hors de lui dans la direction perp. au rayon de la courbe, aura pour expression 2c x C X x C N5divisé par 5 C M5 (c étant la circonférence, C M la distance du centre du sphéroïde au corpuscule, C N le rayon du sphéroïde, & C X la perp. à ce rayon.)
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XXXVI. Prop. VII. Prob. II. Trouver l'attraction qu'un sphéroïde elliptique, composé d'une infinité de couches de densités & d'ellipticités différentes exerce sur un corpuscule placé en un point quelconque de sa superficie dans la direction de son rayon.
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XXXVII. Cor. I. Attraction de ce sphéroïde dans le cas où l'on le suppose homogêne.
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On donne dans ce Cor. l'attraction du sphéroïde sur le corpuscule, supposé placé à l'équateur & au pole, & la différence de ces deux attractions.
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XXXVIII. Cor. II. Attraction de ce sphéroïde dans le cas où la densité des couches qui le composent augmente uniformément du centre à la surface.
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XXXIX. Cor. III. Attraction de ce sphéroïde dans le cas où l'ellipticité des couches augmente proportionnellement à leur approchement du centre.
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On donne dans ce Cor. l'attraction du sphéroïde sur le corpuscule placé successivement au pole & à l'équateur dans cette hypothèse.
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XL. Prop. VIII. Prob. III. Trouver l'attraction exercée par un sphéroïde, composé d'une infinité de couches elliptiques, de densités & d'ellipticités différentes, sur un corpuscule placé à un point quelconque de sa surface, dans la direction perpend. au rayon de la courbe.
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XLI. Prop. IX. Prob. IV. Supposant qu'un sphéroïde tourne dans un tems, tel, que la force centrifuge soit infiniment petite par rapport à son attraction totale, on demande la direction qui résulte des attractions qu'exerce ce sphéroïde sur un corpuscule placé à sa surface, ces attractions étant combinées avec la force centrifuge produite par la rotation du sphéroïde.
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XLII. Scholie. On suppose ce sphéroïde couvert de fluide, & l'on cherche la direction de la pesanteur pour que ce fluide soit en équilibre.
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XLIII. Prop. X. Problême V. Trouver la figure de la terre supposée homogêne.
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XLIV. Scholie. On y fait voir en quoi la méthode, par laquelle M. Newton est arrivé à la même conclusion, est défectueuse.
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XLV. Prop. XI. Problême VI. Trouver la figure de Jupiter dans la même hypothèse.
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XLVI. Prop. XII. Problême VII. Trouver la figure d'une planete qu'on suppose composée de couches elliptiques, dont les ellipticités augmenteroient du centre à la surface proportionnellement à la distance au centre, & dont les densités décroitroient du centre à la circonférence, proportionnellement à la même distance.
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On fait trois suppositions de la proportion entre la densité au centre & celle à la surface; la premiere pour le cas où elle est à la surface la moitié de ce qu'elle est au centre; la seconde pour celui où elle en est le quart; & la troisiéme où elle est égale, qui est le cas de l'homogénéité, & on donne la figure du sphéroïde dans ces trois suppositions.
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XLVII. Prop. XIII. Problême VIII. Trouver la figure d'une planete composée d'une masse fluide qui environne un noyau solide de figure elliptique, dont la densité & l'ellipticité sont données.
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XLVIII. Cor. I. On apprend dans ce Cor. à trouver l'ellipticité ou la densité, ou le rayon du noyau, pour que la planete soit en équilibre, de ces trois quantités quand on en connoît deux, on connoît la troisième.
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XLIX. Cor. II. On donne la forme de la planete, en supposant qu'elle fut plus applatie que dans le cas de l'homogénéité, & que l noyau eut la même ellipticité qu'elle.
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L. Cor. III. On donne la forme de la planete en supposant qu'elle fut une calotte d'épaisseur finie, dont le noyau fut absolument vuide.
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LI. Cor. IV. On tire de ce qu'on a dit dans cette Proposition & dans ses Cor. comment une planete pourroit être allongée, sans que l'équilibre du fluide qui la couvre en fût troublé.
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LII. Cor. V. On donne l'ellipticité du noyau, en supposant que le sphéroïde fut plus applati que dans le cas de l'homogénéité, & que la densité fut plus grande que celle du reste du sphéroïde.
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LIII. Scholie. On fait voir dans ce Scholie, que M. Newton s'est trompé en croïant qu'une plus grande densité au centre donneroit un plus grand applatissement.
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LIV. Prop. XIV. Théoréme I. Si la densité diminue continuellement du centre à la surface, le sphéroïde sera moins applati que lorsqu'on le suppose homogêne, pourvû que les ellipticités ne diminuent pas du centre à la surface, ou que si elles diminuent, ce ne soit pas dans une plus grande raison que celle du quarré des distances.
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LV. Prop. IX. Prob. IX. Un sphéroïde étant composé de couches, de densités & d'ellipticités différentes, & étant supposé tourner en un tems convenable pour l'équilibre, trouver la loi que suit la pesanteur depuis le pole jusqu'à l'équateur.
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LVI. Prop. XVI. Théoréme II. On démontre dans ce théoréme la relation qui est entre l'applatissement de la terre, & le racourcissement du pendule.
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LVII. Scholie. On fait voir dans ce scholie que la diminution de la pesanteur du pole à l'équateur doit être d'autant moindre, que l'applatissement est plus grand, ce qui est entierement contraire à l'observation, & rend la théorie de l'attraction insuffisante en ce point.
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M. Newton s'est trompé en cela, car il a conclu des observations qui donnoient le racourcissement du pendule que la terre étoit plus applatie que dans le cas de l'homogénéité, mais il auroit dû conclure tout le contraire; on fait voir dans le même scholie ce qui a jetté M. Newton dans l'erreur, & quelles espérances il reste de concilier en ce point les expériences & la théorie de l'attraction Newtonienne.
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SECTION V.
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Des Marées. |
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I. Introduction à la doctrine des Marées.
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II. III. Explication & calcul de l'action du soleil sur la terre, pour causer l'élévation des eaux dans deux points diamétralement opposés de la terre, & son abbaissement dans deux autres.
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261.
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IV. Continuation du même sujet.
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V. Quelle est la cause du mouvement des marées ou de l'alternative du flux & reflux.
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VI. Application de la théorie précédente à l'action de la lune, cause principale des marées.
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VII. Distinction des marées en deux sortes, les unes marées solaires, les autres marées lunaires, De quelle maniere, tantôt elles conspirent ensemble, tantôt elles se contrarient.
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VIII. Réfléxions sur les difficultés de cette théorie, qui naissent de l'incertitude de la conformation intérieure de la terre.
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IX. Réfléxions qui justifient M. Newton sur l'hypothèse qu'il a choisie pour calculer les marées.
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X. Lemme I. Où l'on détermine l'attraction qu'exerce un sphéroïde très-peu applati sur un corpuscule placé à son pole.
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XI. Lemme II. Détermination de l'attraction du même sphéroïde, sur un corps placé à son équateur.
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XII. Lemme III. Détermination de l'attraction du même sphéroïde sur un corpuscule placé dans son intérieur.
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XIII. Problême général. Trouver la différence entre le grand demi axe du sphéroïde, formé par le soulévement des eaux, occasionné par le soleil, & l'autre demi axe.
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XIV. Autre expression analytique de l'élévation des eaux, qui fait voir qu'elles sont en raison réciproque cubique des distances du soleil à la terre.
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XV. Troisiéme expression de la même élévation, où l'on fait entrer le rapport des forces du soleil & de la lune.
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